经纬度坐标转换为工程坐标

1. 绪论

在施工和工程测量时,经常需要将GPS坐标转换为工程中所使用的坐标。在Bing上检索到的类似问题,基本描述为两个坐标系的转换,但实际上并非如此。

本文将详细解释转换过程和转换方法。

1.1 GPS接收的坐标

GPS使用的坐标系称为大地坐标系。在GPS信号中,其所返回的经度、维度、和高程坐标一般分为以下几种:

  1. WGS84坐标系:美国建立的世界大地坐标系(World Geodetic System, WGS)WGS-60、WGS-66、WGS-72,1984年修正完善为更精确的系统。
  2. GCJ02坐标系:即火星坐标系,国测局坐标系。是由中国国家测绘局制定。由WGS84坐标系经加密后的坐标系。谷歌中国和搜搜中国采用的GCJ02地理坐标系。
  3. BD09坐标系:百度坐标系,GCJ02坐标系经加密后的坐标系。

    图1 GPS组网,来源北斗导航系统官网

一般而言,GPS中的坐标为WGS84坐标系(《大地测量学基础》350页)。

GPS接收的坐标,一般通过对GPGGA 或者 GNGGA的信号解析得到经纬度和高程信息,两者遵循统一的标准,解析格式详见GPGGA格式详解。标准来源于NMEA 1803。

NMEA 0183是用于海洋电子设备之间通信的电气和数据规范,如回声探测仪、声纳、风速计、陀螺罗盘、自动驾驶仪、GPS接收器和许多其他类型的仪器。它由国家海洋电子协会(NMEA)定义和控制。

1.2 工程坐标系

施工一般是局部 施工,采用平面直角坐标来进行表达,因此,出现了工程坐标系。它实际是设计、施工 时采用的一种平面投影坐标系。我们工程中产生了一些和上述地心坐标系相同的叫法,本质上是由椭球+投影构成,通常而言:。

  • 北京 54,多数是指:北京 54 椭球+高斯投影
  • 西安 80,多数是指:西安 80 椭球+高斯投影
  • 国家 2000,多数是指:国家 2000 椭球+高斯投影

坐标系之间转换方式,也会有:

  • 三参数
  • 四参数+高程拟合
  • 七参数
  • 一步法

那么,这些坐标系、投影方式、转换方式在经纬度坐标转换为工程坐标有什么作用?

2. 坐标系统

2.1 椭球

上述的各种坐标系他们都属于坐标系统,是描述地球上一点位置的不同表达。我们在描述地球时,把地球简化为一个椭球。在数学上,这个椭球通过一些几何参数确定,例如,长半轴、短半轴、扁率、偏心率等。现在坐标系中常用的椭球有:

表1 常见椭球参数

参数 克拉索夫斯基椭球体 1975年国际椭球体 WGS-84 椭球体 2000中国大地坐标系(CGCS2000)
a 6 378 245(m) 6 378 140(m) 6 378 137(m) 6 378 137(m)
b 6 356 863.018 773 047 3(m) 6 356 755.288 157 528 7(m) 6 356 752. 314 2(m) 6 356 752. 314 1(m)
c 6 399 698.901 782 711 0(m) 6 399 596.651 988 010 5(m) 6 399 593.625 8(m) 6 399 593.625 9(m)
\(\alpha\) 1/298.3 1/298.257 1/298.257 223 563 1/298.257 222 101
\(e^2\) 0.006 693 421 622 966 0. 006 694 384 999 588 0. 006 694 379 990 13 0. 006 694 380 022 90
\(e'^2\) 0.006 738 525 414 683 0. 006 739 501 819 473 0.006 739 496 742 27 0. 006 739 496 775 48

图2 不规则地球的椭圆描述

2.2 椭球面上的坐标系

想要描述椭球上点的位置,就需要建立坐标系。坐标系统分为:天球坐标系和地球坐标系。地球坐标系又叫做地固坐标系。

  • 天球坐标系,研究天体和人造卫星的定位和运动。 本文不予讨论。
  • 地球坐标系,研究地球大气内物体的定位和运动。分为大地坐标系 和 空间直角坐标系。同时,也可以分为地心坐标系 和 参心坐标系

所谓地心坐标系,原点与地球质心重合,以地球椭球为基准
所谓参心坐标系,原点与参考椭球中心重合,以参考椭球为基准

因此,无论是地心坐标系 还是 参心坐标系,均可分为大地坐标系 和 空间直角坐标系两种。这两种坐标之间的相互关系和推导过程,参见charlee44的博客2.1节。可见,他们之间可以相互转换。

常见的参心坐标系:

  • 1954年北京坐标系(北京54坐标系)
  • 1980年国家大地坐标系(西安80坐标系)
  • 新1954年北京坐标系(BJ54_新)

常见的地心坐标系:

  • WGS-84世界大地坐标系(WGS84)
  • CGCS2000中国大地坐标系

但是,这里所说的空间直角坐标系,并不是我们工程中经常见到的直角坐标系。它的坐标原点在图3所示的球心。此球心可以是地球质心(地心坐标系)也可以是椭球中心(参心坐标系)。

图3 空间直角坐标系

2.3 投影

说起投影,就涉及到地图数学投影,简单的说就是将表1所列举的某个椭球面上的坐标、方位、距离按照一定的数学法则投影到平面:

\[\left\{ \begin{aligned} x&=F_1(L, B)\\ y&=F_2(L, B) \end{aligned} \right. \]

式中,\(F_1\)\(F_2\)是投影函数;\(L\)\(B\)是椭球面上某点的大地坐标;\(x\)\(y\)是该点投影后的平面直角坐标,这里的平面也叫投影面。
其实这样的坐标系我们生活中就可以见到,例如,办公室内挂着的全国地图。

投影按照不同的方式 有很多种的分类,具体可以参见《大地测量学基础》157页。现在很多国家使用高斯-克里格投影

高斯平面直角坐标系

高斯平面直接坐标系,以中央子午线的投影为纵轴,以赤道的投影为横轴,两交点为原点。
有时候,会说投影按照某一带去投影。这里的“带”是指

测量上将很大的区域按照一定的规律分成若干小区域,又叫带。

它的出现,是因为毕竟是曲面到平面的投影,必然会产生变形。在某些区域,这样的变形很大。为了避免大变形带来的扭曲,我们把区域按照一定的规律分成若干小区域,在小区域中去投影。

我国按照经差6°和3°进行投影分带。

图4 高斯克里格投影

在我国x坐标都是正数,y最大值约为330km。为避免出现负的横坐标,一般加了500km。例如\(Y=19 123 456.789m\),代表在19带内,其相对中央子午线的横坐标是:去掉带号19,再减去500km,得到\(Y=-376543.211m\)

因此,利用高斯投影函数,可将上述大地坐标系的坐标转换为在高斯投影下的平面坐标。

3. 坐标系与投影方式的关系

据此,可以将上述 大地坐标系、投影方式之间的关系用如下表示:

图5 大地坐标系与投影关系

上图中,空间直角坐标 与 经纬度坐标 可以按照charlee44的博客2.1节方式转换。
某种投影方式,一般为高斯-克里格投影。
当地坐标系中,按照工程需求,如果高程可以忽略,则可以经过平面转换,使用当地平面坐标。

4. 经纬度坐标转换为工程坐标

至此,经纬度坐标转换为工程坐标这一过程可以按照如下步骤:

  1. GPS接收信号坐标为WGS-84大地坐标系的经纬度坐标\((L_{source}, B_{source}, H_{source})\)
  2. 利用charlee44的博客2.1节,将经纬度坐标\((L_{source}, B_{source}, H_{source})\)转换为空间直角坐标系\((X_{source}, Y_{source}, Z_{source})\)
  3. 确定工程坐标所使用的大地坐标系所属目标椭球和投影方式
  4. 利用7参数,将\((X_{source}, Y_{source}, Z_{source})\)转换为目标椭球下的\((X_{target}, Y_{target}, Z_{target})\)
  5. 利用charlee44的博客2.2节,将空间直角坐标系\((X_{target}, Y_{target}, Z_{target})\)转换为经纬度坐标\((L_{target}, B_{target}, H_{target})\)
  6. 利用投影方式,将经纬度转换为当地坐标系下的坐标
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